jueves, 23 de mayo de 2013

principio arquimides

 principio arquimides

Principio de Arquímedes

Ejemplo del Principio de Arquímedes: El volumen adicional en la segunda probeta corresponde al volumen desplazado por el sólido sumergido (que naturalmente coincide con el volumen del sólido).
El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: «Un cuerpo total o parcialmente 
sumergido en un fluido en reposo, recibe unempuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del
 fluido que desaloja». Esta fuerza1 recibe el nombre de empuje hidrostático o
 deArquímedes, y se mide en newtons (en el SIU). El principio de Arquímedes se formula así:
|E| = m\;g = \rho_\text{f}\;g\;V\;
o bien
E = - m\;g = - \rho_\text{f}\;g\;V\;
Donde E es el empuje , ρf es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido desplazado
» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo,g la aceleración de la gravedad 
y m la masa, de este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo
 y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales2 y descrito de modo 
simplificado3 ) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en elcentro de gravedad del fluido
 desalojado por el cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de carena.


historia

Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la tina cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona. Debido a que la compresión del agua sería despreciable,5 la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos le hubieran sido añadidos. Entonces, Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles, tan emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando "¡Eureka!" (en griego antiguo: "εὕρηκα" que significa "¡Lo he encontrado!)"6La anécdota más conocida sobre Arquímedes, matemático griego, cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregularDe acuerdo a Vitruvio,arquitecto de la antigua Roma, una nueva corona con forma de corona triunfal había sido fabricada para Hierón II, tirano gobernador de Siracusa, el cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha de oro sólido o si un orfebre deshonesto le había agregado plata.4 Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad.

La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes, pero en su tratado Sobre los cuerpos flotantes él da el principio de hidrostática conocido como el principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado es decir dos cuerpos que se sumergen en una superficie (ej:agua), y el más denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más rápido, es decir, tarda menos tiempo, aunque es igual la distancia por la cantidad de volumen que tenga cada cuerpo sumergido.7

Demostración 

Aunque el principio de Arquímedes fue introducido como principio, de hecho puede considerarse un teorema demostrable a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido en reposo, mediante el teorema de Stokes (igualmente el principio de Arquímedes puede deducirse matemáticamente de las ecuaciones de Euler para un fluido en reposo que a su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a un medio continuo). Partiendo de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido:

(1)
\rho_f\left[\frac{\part\mathbf{v}}{\part t} +\mathbf{v}(\boldsymbol\nabla\cdot \mathbf{v})\right]= \mu\Delta\mathbf{v} - \boldsymbol\nabla p + \rho_f\mathbf{g}
La condición de que el fluido incompresible que esté en reposo implica tomar
 en la ecuación anterior \mathbf{v}=0, lo que permite llegar a la relación fundamental
 entre presión del fluido, densidad del fluido y aceleración de la gravedad:
(2)
0 = - \boldsymbol\nabla p + \rho_f\mathbf{g}
A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo 
sumergido en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge
 un sólido K en un fluido, en cada punto de su superficie aparece una fuerza por unidad
 de superfice \scriptstyle \mathbf{f} perpendicular a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del
 fluido p en ese punto. Si llamamos \scriptstyle \mathbf{n} = (n_x,n_y,n_z) al vector normal a la superficie del cuerpo
 podemos escribir la resultante de las fuerzas \scriptstyle \mathbf{f} = -p\mathbf{n} sencillamente mediante el teorema de Stokes de la divergencia:
(3)
\begin{cases} F_x = \int_{S_K} f_x dS = \int_{S_K} -p n_x dS\\ F_y = \int_{S_K} f_y dS = \int_{S_K} -p n_y dS\\ F_z = \int_{S_K} f_z dS = \int_{S_K} -p n_z dS \end{cases} \quad \Rightarrow \begin{cases} F_x = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_x)}{\part x} dV \\ F_y = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_y)}{\part y} dV \\ F_z = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_z)}{\part z} dV \end{cases}


\Rightarrow\qquad \mathbf{F} = \int_{V_K} -\boldsymbol\nabla p\ dV = \int_{V_K} -\rho_f \mathbf{g}\ dV = -\rho_f \mathbf{g}\ V_K
Donde la última igualdad se da sólo si el fluido es incompresible.

Prisma recto

Para un prisma recto de base Ab y altura H, sumergido en posición

 totalmente vertical, la demostración anterior es realmente elemental

. Por la configuración del prisma dentro del fluido las presiones sobre

 el área lateral sólo producen empujes horizontales que además se anulan

 entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, 

puesto que todos sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la

 presión es constante y podemos usar la relación Fuerza = presión x Área y

 teniendo en cuenta la resultante sobre la cara superior e inferior, tenemos:

(4)
E = p_{inf}A_b-p_{sup}A_b \;
Donde p_{inf} es la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, p_{sup} es la
 presión aplicada sobre la cara superior y A es el área proyectada del cuerpo. 
Teniendo en cuenta la ecuación general de la hidrostática, que establece que la
 presión en un fluido en reposo aumenta proporcionalmente con la profundidad:
(5)
p(z)= \rho_f gz \rightarrow E = p_{inf}A-p_{sup}A = \rho_f g(z_{inf}-z_{sup}) A = \rho g(HA)
Introduciendo en el último término el volumen del cuerpo y multiplicando por la 
densidad del fluido ρf vemos que la fuerza vertical ascendente FV es precisamente
 el peso del fluido desalojado.
(6)
E =\rho_f V_{des}\;
El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical
 y ascendente, cuando éste se halla sumergido, resulta ser también la diferencia 
entre el peso que tiene el cuerpo suspendido en el aire y el "peso" que tiene el mismo
 cuando se lo introduce en un líquido. A éste último se lo conoce como peso "aparente" 
del cuerpo, pues su peso en el líquido disminuye "aparentemente"; la fuerza que ejerce la
 Tierra sobre el cuerpo permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza
 hacia arriba que disminuye la resultante vertical.


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